关于1与0.999……的问题

zasdfgbnm · 发表于 2010-6-13 18:53:31

http://www.cncalc.org/thread-1253-1-1.html
这个帖子已经很久了，但是请不要算我变相挖坟，当时我没学微积分，谢谢
各位，你们谁敢说你们从内心深处非常坦然的接受了这个现实而没有任何顾虑？如果有人用刀架在你脖子上说：“1和0.999……相等么？如果你打错了你的脑袋就没了！”你还敢毫不犹豫地说：“对，就是相等，错了你就砍吧！”？如果有一个数学家对你说1和0.999……是不相等的你敢理直气壮反驳他吗？
关于1=0.99999……证法很多，但都给人一种玩文字游戏的感觉：
下面引用一种证法：

首先1/3=0.333…… 式子（1）
对式子(1)两边同乘以3就得到1=0.999999……

问题在于：看起来推理过程无懈可击，却推出了一个显然错误的结论，那么必然是我们的逻辑链哪里出了问题，可能是我们认为1=0.99999……显然错误，但他却是对的，也有可能是式子（1）是错误的（请不要说按照小学老师教的做除法的方法1/3=0.333……，因为我们探讨的很深入，每走一步都要问自己：这依据的是那一条公理？而不是凭着直觉，因为就在这个问题上直觉骗了我们），也可能等式两边根本不能同乘一个数，从显然开始经过显然的推理来推.翻显然的结论，这并不可靠，或者说为什么要判定1不等于0.9999……是错的而不是将我们的证明视作反证法来判定1/3=0.3333……是错的？
其实这个问题如果真要有一个令人信服的证明要从什么是实数，为什么十进制小数可以表示实数谈起，下面我来提供一个证明，引用自科朗的名著《微积分与数学分析引论》

zasdfgbnm · 发表于 2010-6-13 18:55:40

zasdfgbnm · 发表于 2010-6-13 18:56:44

zasdfgbnm · 发表于 2010-6-13 18:57:12

chsi · 发表于 2010-6-13 21:44:50

楼主提到的“错误证法”并不能证明1=0.999...。这个证明的目的在于以欺骗的手法让小学生接受1=0.999...这个事实。

jack12344 · 发表于 2010-6-13 22:44:07

没错,但是个人认为1不等于0.99999999...............而是大于,同样的,无理数例如:根号2,它的平方为2,2可以写成2.00000000000...............,但是根号2的末尾(假设根号2有最末的数字)必定是1~9之间的的个,但是看看1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16,5^2=25,6^2=36,7^2=49,8^2=64,9^2=81
1~9里面的平方没有一个末位是0的,那么根号2的平方怎么说也不等于2,而应该略大或略小于2

zasdfgbnm · 发表于 2010-6-14 12:34:16

无穷和有限不一样，连无穷级数都不能随便加括号

zasdfgbnm · 发表于 2010-6-14 12:40:01

楼主提到的“错误证法”并不能证明1=0.999...。这个证明的目的在于以欺骗的手法让小学生接受1=0.999...这个事实。
chsi 发表于 2010-6-13 21:44

之前的讨论帖给出的各种证法都是在玩文字游戏

hcz · 发表于 2010-6-14 13:11:00

本来就都是文字游戏。。

试问一个20cm长的**和一个19.999999……cm长的**，有必要比出谁大谁小么？

疯不狂 · 发表于 2010-6-14 13:20:05

…………我没有懂……

imath · 发表于 2010-6-14 18:12:58

1：不存在一个正实数a,使得0.9....<a<1.也就是说0.9...与1是相等的
2:若求差,存在一个差量0.000......01[假设末尾有1这个数字存在],又显然0.999..是无数个9，也就是差量有无数个0，也就是说没有末尾,也就是说没有1这个数字存在,也就是=0，也就是两数相等.
3:Lim一下就是答案
4：从语文的角度上分析,文字不同,那么这个整体就不同.所以不相同但相等.就像{"3-1"}不等于{"2"},而{3-1}={2}

zasdfgbnm · 发表于 2010-6-18 11:02:17

11# imath
每一步都要严格的依据公理！不能靠直觉

imath · 发表于 2010-6-20 16:22:15

我做题全靠我的数学直觉
这个我命题我可以再想一想

Σ理论EQN · 发表于 2010-6-20 18:20:34

分数和循环小数。。。。。。。

andy9999678 · 发表于 2010-6-23 09:16:00

说得很好
我们数学老师是这么反驳1/3*3=1的证法的:谁教你无效循环小数的加减乘除的。
而问题的实质就是表示实数时是往小的方向逼近还是往大的方向逼近。
比如：1.4<sqrt(2)<1.5,1.41<sqrt(2)<1.42,这样逼近下去就会得到两个近似值，而趋于极限时，得到两个数就应该都等于sqrt(2)。

据我们老师说，这个问题要往深讨论需要实数分析的知识，这个我就不懂了

imath · 发表于 2010-6-23 12:21:42

假设存在某道填空题,正确答案是2
我填写 1.9,9循环老师也不能打叉叉,真的.

0.99999....[无限个9] 和1.000..[无限个0]..001[无限个0最后有一个1] 相加除以2 一定等于1哦,真的

鸣人之子 · 发表于 2010-6-23 19:36:21

有无穷小量的话，那么1-0.999999.........=无穷小

bruce55 · 发表于 2010-6-23 21:00:07

有无穷小量的话，那么1-0.999999.........=无穷小
鸣人之子发表于 2010-6-23 19:36

无穷小=0?

zhj · 发表于 2010-6-23 21:39:47

无穷小=0?
bruce55 发表于 2010-6-23 21:00

0是唯一的一个无穷小的值，但无穷小不一定是0
（初中生的理解，抄自《十万个为什么（新世纪版）》

bruce55 · 发表于 2010-6-23 23:48:31

对哦，那个是负无限大

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