求这个极限的证明

鸣人之子 · 发表于 2010-10-14 21:42:51

求证明: lim sin(x)/x=1

鸣人之子 · 发表于 2010-10-14 21:43:44

终于发出来了...

hcz · 发表于 2010-10-14 21:54:29

一单位圆上取一圆心角a趋向无限小的扇形，过弧一端点作另一半径垂线，则由几何关系垂线与弧趋向重合，垂线长度Sin a 趋向弧长a，所以其比值趋向1

鸣人之子 · 发表于 2010-10-14 21:56:27

一单位圆上取一圆心角a趋向无限小的扇形，过弧一端点作另一半径垂线，则由几何关系垂线与弧趋向重合，垂线长度Sin a 趋向弧长a，所以其比值趋向1
hcz 发表于 2010-10-14 21:54

有没有更严格一点的?

hcz · 发表于 2010-10-14 22:12:56

上面的已经能严格证明了

另顺便提供一些比较扯淡的方法

1.
x->0时，易知高阶小量无意义，由泰勒法，只需取第一级，有sin x=(-1)^0/((0*2+1)!)*x^(0*2+1)=x
2.
当重物从单位圆轨道最左/右端滑落角度a时，重力势能减少mg sin a，动能增加 Integrate 0~a(cos a)，可得Integrate cos a=sin a，则(sin x)'=cos x，而x'=1，当x->0，sin x和x都是0，即两者等效，所以有sin x/x趋向于1

imath · 发表于 2010-10-15 12:39:04

罗比达法则:
Ans=lim(cos(x),0)=1

LZ的lim函数语法有误

imath · 发表于 2010-10-15 12:40:54

用夹逼定理也行

imath · 发表于 2010-10-15 12:42:29

taylor()一下也可以

andy9999678 · 发表于 2010-10-16 10:06:17

严格证明就是ε-δ和夹逼准则，泰勒展开和L'Hospital都是较高级的东西

Nero · 发表于 2010-10-16 18:41:07

三明治定理（就是夹逼定理）的证明是严格的

imath · 发表于 2010-10-16 20:52:55

罗比达最方便!

imath · 发表于 2010-10-16 20:53:17

而且可以使用任意次!更爽,更快,更有手感.

andy9999678 · 发表于 2010-12-1 13:02:57

在数分教材里泰勒公式是一元微分学的顶峰啊，求极限泰勒和罗必达是万能的。

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