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2008全国高中数**赛

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发表于 2009-5-1 09:41:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
2008年全国高中数**合竞赛加试(A卷)
试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分;
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、(本题满分50分)
如题一图,给定凸四边形 是平面上的动点,令
(Ⅰ)求证:当 达到最小值时, 四点共圆;
(Ⅱ)设 是 外接圆 的 上一点,满足: , , ,又 是 的切线, ,求 的最小值.
[解法一]
(Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点 ,有
答一图1



因此
      
因为上面不等式当且仅当 顺次共圆时取等号,因此当且仅当 的外接圆且在 上时,
                 10
又因 ,此不等式当且仅当 共线且 上时取等号.因此当且仅当 的外接圆与 的交点时, 取最小值
故当 达最小值时, 四点共圆.                            20
(Ⅱ)记 ,则 ,由正弦定理有 ,从而 , ,所以

整理得 ,                           …30
解得 或 (舍去),
故 , .


由已知 = ,有 ,即 ,整理得 ,故 ,可得 ,
     
…40分

从而 , , 为等腰直角三角形.因 ,则 .
又 也是等腰直角三角形,故 , , .
故 .                                   50
答一图2

[解法二]
(Ⅰ)如答一图2,连接 交 的外接圆 于 点(因为 在 外,故 在 上)
分别作 的垂线,两两相交得 易知 内,从而在 内,记 之三内角分别为 ,则 ,又因 ,得 ,同理有
所以                      10
,则对平面上任意点 ,有
        
              
              
              
              
              
从而  
点的任意性,知 点是使 达最小值的点.
由点 上,故 四点共圆.                              …20
(Ⅱ)由(Ⅰ), 的最小值
              
                  
则 ,由正弦定理有 ,从而 , ,所以

整理得 ,                       …30
解得 或 (舍去),

故 , .



由已知 = ,有 ,即 ,整理得 ,故 ,可得 ,
     
…40分

所以 为等腰直角三角形, ,因为 点在 上, ,所以 为矩形, ,故 ,所以 .
50
[解法三]
(Ⅰ)引进复平面,仍用 等代表 所对应的复数.
由三角形不等式,对于复数 ,有
           
当且仅当 (复向量)同向时取等号.
  
所以  
                1
   
   
从而  
   


           2                                       …10
1)式取等号的条件是
          复数
同向,故存在实数 ,使得
         
             
所以  
向量 旋转到 所成的角等于 旋转到 所成的角,
从而 四点共圆.
2)式取等号的条件显然为 共线且 上.
故当 达最小值时 点在 之外接圆上, 四点共圆.       20
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
以下同解法一.

二、(本题满分50分)
是周期函数, 1 的周期且 .证明:
(Ⅰ)若 为有理数,则存在素数 ,使 的周期;
(Ⅱ)若 为无理数,则存在各项均为无理数的数列 满足

,且每个 都是 的周期.
[] (Ⅰ)若 是有理数,则存在正整数 使得 ,从而存在整数 ,使得
                     
于是

的周期.                             …10
又因 ,从而 .设 的素因子,则 ,从而
                   
的周期.                                  …20
(Ⅱ)若 是无理数,令
            
,且 是无理数,令
            
……
            
…….                                                 30
由数学归纳法易知 均为无理数且 .又 ,故 ,即 .因此 是递减数列.                            40
最后证:每个 的周期.事实上,因1 的周期,故 亦是 的周期.假设 的周期,则 也是 的周期.由数学归纳法,已证得 均是 的周期.                                         50

三、(本题满分50分)
.证明:当且仅当 时,存在数列 满足以下条件:
(ⅰ)
(ⅱ) 存在;
(ⅲ)
[]
必要性:假设存在 满足(ⅰ),(ⅱ),(iii).注意到(ⅲ)中式子可化为
         
其中
将上式从第1项加到第 项,并注意到
                       10
由(ⅱ)可设 ,将上式取极限得
         
           

因此                                                            20
充分性:假设 .定义多项式函数如下:
         
[0,1]上是递增函数,且

因此方程 [0,1]内有唯一的根 ,且 ,即    30
下取数列 ,则明显地 满足题设条件(ⅰ),且
        
,故 ,因此 ,即 的极限存在,满足(ⅱ).                                                               40
最后验证 满足(ⅲ),因 ,即 ,从而
        
综上,存在数列 满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ).                               50
发表于 2009-5-1 11:30:21 | 显示全部楼层

题目呢...

题目呢...
 楼主| 发表于 2009-5-1 11:49:44 | 显示全部楼层

竞赛

我一等奖哈哈哈
发表于 2009-5-1 21:59:49 | 显示全部楼层
你果然很厉害.......
你考了多少分.......
 楼主| 发表于 2009-5-2 13:35:50 | 显示全部楼层
错了一道选择题
发表于 2009-5-5 21:33:32 | 显示全部楼层
很好很强大....
发表于 2009-5-9 22:37:18 | 显示全部楼层
不错,我想问的是,标题为什么有两个星?
 楼主| 发表于 2009-5-16 11:01:31 | 显示全部楼层
不知道好像论坛有问题
发表于 2009-5-16 22:20:11 | 显示全部楼层
词语过滤?
发表于 2009-5-17 00:23:11 | 显示全部楼层
词语过滤,请用其他词代替
 楼主| 发表于 2009-5-17 12:09:22 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2009-5-17 12:09:40 | 显示全部楼层
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