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初中几何题求解

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发表于 2011-6-5 12:40:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
20金钱
是否存在三边为连续自然数的三角形使得:(1)最大角是最小角的2倍 (2)最大角是最小角的3倍。 存在请求出3边长,不存在请证明。
第一小题已解出来4,5,6。  求第二小题。。但我认为不存在- -| (百度表示鸭梨巨大)

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反证法 不用三角函数: 设△ABC中,∠C为最小角,∠A为最大角。 由于大边对大角,故若设AB=n 则AC=n+1,BC=n+2 作∠ABC的三等分线,交BC边于D、E △ABC∽△ABD BD:AB=AB:BC=AD:AC 所以得BD=n^2/(n+2) AD=(n^2+n)/(n+2) △ADE∽△ADC DE:AD=AD:CD=AE:AC 所以得DE=(n^3+n^2)/(4n+8) AE=(n^2+n)/4 又因为∠BAD=∠DAE=∠EAC=∠C 所以AE=CE 于是可以得方程: BC-BD-DE=AE 即(4-n)(n+1)(n+4)/(4n+8)=(n^2+n)/4 可得n = -1 ...
发表于 2011-6-5 12:40:50 | 显示全部楼层
反证法 不用三角函数:
设△ABC中,∠C为最小角,∠A为最大角。
由于大边对大角,故若设AB=n 则AC=n+1,BC=n+2
作∠ABC的三等分线,交BC边于D、E
△ABC∽△ABD   BD:AB=AB:BC=AD:AC
所以得BD=n^2/(n+2)     AD=(n^2+n)/(n+2)

△ADE∽△ADC   DE:AD=AD:CD=AE:AC
所以得DE=(n^3+n^2)/(4n+8)    AE=(n^2+n)/4

又因为∠BAD=∠DAE=∠EAC=∠C
所以AE=CE

于是可以得方程:
BC-BD-DE=AE
即(4-n)(n+1)(n+4)/(4n+8)=(n^2+n)/4
可得n = -1 || n = (-1 - Sqrt[33])/2 || n = (-1 + Sqrt[33])/2
与原题“为自然数”矛盾。因此不存在这样的三角形。
Q.E.D
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 楼主| 发表于 2011-6-5 12:44:32 | 显示全部楼层
老师语:尽可能不要用三角函数- -|
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发表于 2011-6-5 14:03:38 | 显示全部楼层
数学归纳法证明没有。。。
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发表于 2011-6-5 14:59:12 | 显示全部楼层
我觉得有些怪啊……
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发表于 2011-6-5 19:39:16 | 显示全部楼层
数学归纳法证明没有。。。
击剑狂歌 发表于 2011-6-5 14:03

哦,忘了说明

要求:禁止用三角函数,只能用数学归纳法
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发表于 2011-10-25 11:21:07 | 显示全部楼层
三角函数方便,但是用起来感觉不爽...
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