[空间解析几何]§5.3 二次方程的化简与二次曲线的分类 |连载

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§5.3 二次方程的化简与二次曲线的分类 5.3.1 二次方程的化简 根据坐标系下二次方程系数的变化规律，可通过选取适当的坐标系化简方程.设二次方程为 　　　（3.1） 其中 . 化简二次方程的步骤一般分为两步： 第一步：通过坐标系的旋转变换，将一条坐标轴变换到二次曲线的对称轴； 第二步：通过坐标系的平移变换，按中心型曲线、非中心型曲线将坐标系的原点变换到曲线的中心、对称中心或顶点，从而得到标准坐标系和标准方程. 第一步坐标系的旋转变换 对坐标系O-xy作旋转变换， 　　　（3.2） 旋转角θ满足 　　0≤θ<π　　　 （3.3） 则二次方程化为 　　　（3.4） 第二步坐标系的平移变换（分两种情形） 情形1：设 ，对坐标系O’-x’y’作平移变换 方程化简为 　　　（3.5） 其中 情形2：设二次方程的二次项系数至少有一个为0，不妨设 ，下面根据具体情况继续分类如下， 1）若 ，对坐标系O’-x’y’作平移变换 方程化简为：　　　 （3.6） 2）若 ，对坐标系O’-x’y’作平移变换 方程化简为 　　　（3.7） 其中 . 5.3.2 二次曲线的分类 二次曲线分为中心型曲线和非中心型曲线两种. 1.　中心型曲线 当经旋转变换后有时，曲线有唯一的对称中心，这类曲线称为中心型曲线，其标准方程为 . 根据标准方程中系数的正负号，二次曲线可分为五类： （I）椭圆型：   （1）椭圆 条件为 ， 标准方程为 （2）无轨迹（虚椭圆） 条件为 ，标准方程为 （3）一点 条件为   ， 标准方程为 （II）双曲型： （4）双曲线 条件为 ， 标准方程为 或 （5）两条相交直线 条件为 ， 标准方程为 2. 非中心型曲线（抛物型曲线） 当经旋转变换后二次方程的二次项系数至少有一个为0，可将方程化简，此时它们所表示的二次曲线称为抛物型曲线，它是非中心型曲线.其标准方程为 　或 . 根据标准方程中系数的关系，又可分为四类： （III）抛物型： （6）抛物线 条件为 ， 标准方程为 （7）一对平行线 条件为 ，标准方程为 （8）一对虚平行线 条件为 ，标准方程为 （9）一对重合直线 条件为 ，标准方程为