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反函数的奇怪问题

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发表于 2010-10-4 12:40:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
10金钱
我想用sin,cos,tan的函数和反函数表示y=arccotx
已经得到一个表达式可以表示y=(pi/2)-arctanx(是正确的)


可是我换个角度推导y=cotx=1/tanx


那么tanx=1/y


x=arctan1/y


->y=arctan1/x


可是用几何画板画图得到的两个图却不同,这是为什么?推导哪里出了问题?请各位指教,谢谢!

pic.jpg
发表于 2010-10-4 12:45:03 | 显示全部楼层
表示晕题了.
但是你要知道..3脚函数具有周期性,这一点很不爽.
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 楼主| 发表于 2010-10-4 13:22:43 | 显示全部楼层
发些内容以供抛砖引玉
arctan(x)这种函数是多值函数,同一个x值对应于很多的y值。
比如 arcsin(x),x取【-1,1】,对于每一个x值,y其实有很多,但我们习惯上取了y在[-pi/2,pi/2]的区间。

你得到的两个图,相当于取了不一样的值域区间,要是把每个区间都补完,你会发现他们是一样的

你推倒的时候没有考虑 多值函数的值域问题,要是考虑了,是可以得到的

你得到的都是正确的结果,只不过你还没看明白。
图中:图像向上和向下以pi为单位平移,得到的完整图像,两个图是一样的。
式子:说明(pi/2)-arctanx=arctan1/x
当 x>0,它恰是满足的。

假如 考虑到多值函数的完整表示,
反正切应表示为 y=n*pi+arctan(x) (n取所有整数,arctan(x)取[-pi/2,pi/2])
那么,两式应表示为:
y=(pi/2)-arctanx+n*pi (n取所有整数)
y=arctan1/x+m*pi      (m取所有整数)
这样两式是相等的

因为
arctan(1/x)=
pi/2-arctan(x)   (x>0)
-(pi/2+arctan(x))  (x<0)

所以两式相等
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发表于 2010-10-4 13:43:21 | 显示全部楼层
arccot x=兀/2-arctan x
恒成立
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发表于 2010-10-4 13:45:35 | 显示全部楼层
arctan 1/x=兀&#8226;sgnx/2  -arctan x
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发表于 2010-10-4 17:12:05 | 显示全部楼层
最后那步把函数翻折了
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发表于 2010-10-5 14:24:49 | 显示全部楼层
直接把10JB给我吧~~
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发表于 2010-10-5 17:14:42 | 显示全部楼层
直接把10JB给我吧~~
imath 发表于 2010-10-5 14:24

好直接。。。
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发表于 2010-10-6 16:05:15 | 显示全部楼层
Arccotan(X) = tan-1(X) + 2 * tan-1(1)
是MSDN里的。可以吗?

导出的数学函数
以下为非基本数学函数的列表,皆可由基本数学函数导出:
函数由基本函数导出之公式
Secant(正割)Sec(X) = 1 / Cos(X)
Cosecant(余割)Cosec(X) = 1 / Sin(X)
Cotangent(余切)Cotan(X) = 1 / Tan(X)
Inverse Sine (反正弦)
Arcsin(X) = Atn(X / Sqr(-X * X + 1))
Inverse Cosine (反余弦)
Arccos(X) = Atn(-X / Sqr(-X * X + 1)) + 2 * Atn(1)
Inverse Secant (反正割)
Arcsec(X) = Atn(X / Sqr(X * X - 1)) + Sgn((X) - 1) * (2 * Atn(1))
Inverse Cosecant (反余割)
Arccosec(X) = Atn(X / Sqr(X * X - 1)) + (Sgn(X) - 1) * (2 * Atn(1))
Inverse Cotangent (反余切)
Arccotan(X) = Atn(X) + 2 * Atn(1)
Hyperbolic Sine (双曲正弦)
HSin(X) = (Exp(X) - Exp(-X)) / 2
Hyperbolic Cosine (双曲余弦)
HCos(X) = (Exp(X) + Exp(-X)) / 2
Hyperbolic Tangent (双曲正切)
HTan(X) = (Exp(X) - Exp(-X)) / (Exp(X) + Exp(-X))
Hyperbolic Secant (双曲正割)
HSec(X) = 2 / (Exp(X) + Exp(-X))
Hyperbolic Cosecant(双曲余割)HCosec(X) = 2 / (Exp(X) - Exp(-X))
Hyperbolic Cotangent(双曲余切)HCotan(X) = (Exp(X) + Exp(-X)) / (Exp(X) - Exp(-X))
Inverse Hyperbolic Sine(反双曲正弦)HArcsin(X) = Log(X + Sqr(X * X + 1))
Inverse Hyperbolic Cosine(反双曲余弦)HArccos(X) = Log(X + Sqr(X * X - 1))
Inverse Hyperbolic Tangent(反双曲正切)HArctan(X) = Log((1 + X) / (1 - X)) / 2
Inverse Hyperbolic Secant(反双曲正割)HArcsec(X) = Log((Sqr(-X * X + 1) + 1) / X)
Inverse Hyperbolic CosecantHArccosec(X) = Log((Sgn(X) * Sqr(X * X + 1) + 1) / X)
Inverse Hyperbolic Cotangent (反双曲余切)
HArccotan(X) = Log((X + 1) / (X - 1)) / 2
以 N 为底的对数LogN(X) = Log(X) / Log(N)


以上内容出自 Microsoft Development 6.0 Network 联机帮助
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发表于 2010-10-6 16:43:34 | 显示全部楼层
Arccotan(X) = tan-1(X) + 2 * tan-1(1)
MSDN里的。可以吗?


yzhang37 发表于 2010-10-6 16:05

MSDN?
你玩VC还是VB还是VC#
我转战MFC很多年了
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 楼主| 发表于 2010-10-6 17:33:44 | 显示全部楼层
Arccotan(X) = tan-1(X) + 2 * tan-1(1)
是MSDN里的。可以吗?


yzhang37 发表于 2010-10-6 16:05
这个式子是怎么推导出来的呀?我对过程很感兴趣
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发表于 2010-10-6 17:34:15 | 显示全部楼层
多半是错的
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发表于 2010-10-6 17:34:36 | 显示全部楼层
不用推倒,因为是错的
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发表于 2010-10-7 12:04:27 | 显示全部楼层
微软公司推导的,与我无关。
至于math 3的算法,也应该是微软公司推导的,与我无关。
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发表于 2010-10-7 12:10:21 | 显示全部楼层
MSDN?
你玩VC还是VB还是VC#
我转战MFC很多年了
diameter 发表于 2010-10-6 16:43


mSDN 6.0
msdn.PNG
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发表于 2010-10-7 13:02:35 | 显示全部楼层
那就推错了,怎么可能是一次函数的关系?
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